Révision DS — viser la moyenne

Le DS de R3.08 approche, il reste deux jours, et l'objectif est fixé : la moyenne, pas le 20. Bonne nouvelle : le sujet 2025 montre que ce n'est pas la même chose. Le DS est mécanique — presque chaque question applique une procédure connue, les exercices sont indépendants, et les points sont devant, pas au fond. Cette fiche rassemble ce qu'il faut savoir refaire (pas réciter) : où sont les points, la grille des quatre modèles, les formules de probas, l'arbre conditionnel — puis le plan pour placer tout ça en deux jours.

La stratégie : où sont les 10 points

Le barème de l'annale dit où le sujet met ses points :

Les premières questions de chaque exercice sont quasi offertes : 3⁴ = 81, A₁₀⁴ = 5040, l'arbre du jeu. Le parcours « moyenne » — l'exercice 1 complet, la première question du 2, les anagrammes, l'arbre, le dé truqué et le QCM — fait déjà 11 à 13 points, avant même de toucher aux questions techniques. Inutile de tout réussir : il faut prendre toutes les questions faciles, sans en rater une.

1. Dénombrement — la grille des 4 modèles

Neuf points de l'annale tombent là, et tout tient dans deux questions à se poser devant chaque « combien de façons de… ? » :

1. L'ordre compte-t-il ? Un code, un mot, un ordre de passage → oui. Une main, une équipe, un groupe → non.
2. Peut-on retomber sur le même élément ? « On remet », « répétitions autorisées », « une personne peut en recevoir plusieurs » → oui. « Sans remettre », « une seule fois » → non.

Les deux réponses désignent la case — et la formule (le formulaire la donne) :

La notation est celle du cours et du formulaire : Aₙᵏ, le coefficient d'arrangements (« k objets à choisir parmi n et à arranger »), et Cₙᵏ, le coefficient binomial — posé en colonne ( n sur k ) comme sur le schéma. Les formes prêtes à calculer :

Trois réflexes qui font la différence :

• « Exactement k réussites » : d'abord choisir lesquelles — Cₙᵏ — puis compter librement le reste (principe multiplicatif). Le questionnaire : C₄² × 2² = 24 façons d'avoir exactement 2 bonnes réponses.
• « Au moins k » : si les cas favorables sont peu nombreux, on les additionne (3 verts ou 4 verts : 1200 + 120). Sinon on passe par le contraire : total − cas défavorables (1 ou 2 verts : 5040 − 120 − 1320).
• Le contrôle de partition : quand on découpe en cas (0, 1, 2, 3, 4 verts), la somme doit redonner le total : 120 + 3600 + 1320 = 5040 ✓. Si elle n'y redonne pas, une case est fausse — deux secondes de vérification qui sauvent la question entière.

Anagrammes — la méthode en trois lignes

1. Compter les lettres — ENTENDUS en a 8, pas 7 : la faute la plus chère du sujet ;
2. Repérer les groupes de doublons — et É et E sont deux lettres distinctes ;
3. Diviser n! par la factorielle de chaque groupe :

ENTENTE  :  7! / (3! × 2! × 2!) = 5040 / 24 = 210
ENTENDUS :  8! / (2! × 2!)       = 40 320 / 4 = 10 080

Pourquoi la division ? Échanger deux lettres jumelles ne change rien : compter n! compte chaque mot plusieurs fois, une fois par échange invisible — on corrige le sur-comptage. Et quand le mot n'a que deux groupes de lettres, ce quotient est exactement un coefficient binomial : les anagrammes de NANNA (3 N, 2 A) sont C₅² = 5!/(2! 3!) = 10 — la propriété 8 du cours.

Et deux valeurs à avoir en tête : 0! = 1, et les fractions de factorielles se simplifient d'elles-mêmes : 9!/7! = 9 × 8 = 72.

2. Probas simples — le gâteau des 100 %

Une probabilité est une part d'un gâteau de 100 % : P(Ω) = 1, et pour des cas disjoints on additionne. De là descendent les trois formules les plus rentables du semestre :

P(Ā) = 1 − P(A)                l'astuce « au moins un » : P(au moins un) = 1 − P(aucun)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)  le recouvrement A∩B est compté deux fois, on le retire une fois
P(A) = #(favorables) / #(possibles)     UNIQUEMENT en équiprobabilité

• « Au hasard », « équilibré », « identique » dans l'énoncé → équiprobabilité : on compte les cas avec la section 1, on divise.
• « Ni… ni » → contraire de « ou » : P(J̄∩D̄) = 1 − P(J∪D) — et le P(J∪D) se calcule par la formule d'union.
• Le hasard n'a pas de mémoire : le dé est bien équilibré → le 61ᵉ lancer, c'est encore 1/6, quel que soit l'historique des 60 premiers.

Le dé truqué — une procédure, trois lignes

Pas d'équiprobabilité → pas de division magique. LA méthode, toujours la même :

1. poser une seule inconnue p ;
2. traduire chaque phrase de l'énoncé en équation, tout en fonction de p ;
3. la somme des probas vaut 1 → on trouve p, et on contrôle.

« deux fois moins de chance d'obtenir 1 que 2 » → P({2}) = 2p
« 3 fois plus de chance d'obtenir 3 que 1 »     → P({3}) = 3p    … etc. pour chaque face
p + 2p + 3p + p + 3p + 4p = 14p = 1    →    p = 1/14

Puis toute question (« obtenir un pair ») se règle en additionnant les cas disjoints : P(pair) = 2/14 + 1/14 + 4/14 = 1/2. Et si la somme ne tombe pas juste (14p = 1), une phrase de l'énoncé est mal traduite : c'est ton alarme intégrée, elle sonne tout seule.

3. Probas conditionnelles — l'arbre pondéré

Une information tombe (« le test est positif », « c'est une figure ») → l'univers rétrécit et tout se recalcule dedans. L'outil unique : l'arbre pondéré, avec ses trois réflexes :

sur un chemin : on MULTIPLIE                    P(A∩B) = P(A) × P_A(B)
branches d'un même nœud : la somme fait 1       P_A(B) + P_A(B̄) = 1
un résultat sans savoir par quel chemin : on ADDITIONNE les chemins

Le « additionner les chemins » écrit en lignes, c'est la formule des probabilités totales — avec la partition {A, Ā}, la plus fréquente :

P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)

La question « à l'envers » — le réflexe en deux temps

« Sachant qu'une alerte s'est déclenchée, quelle est la probabilité que le trafic soit malveillant ? » — dès que la question donne le résultat final et demande la branche d'entrée, c'est le même rituel en trois temps : descendre l'arbre (chaque chemin = un produit), additionner les chemins qui mènent au résultat (probabilités totales), puis diviser le chemin qui t'intéresse par ce total :

P(M|A) = P(M∩A) / P(A)

Le gabarit complet avec les chiffres du pare-feu (la variante corrigée de la page DS) — 2 % du trafic est malveillant, détection 98 %, fausse alerte 4 % :

P(A)   = 0,02 × 0,98 + 0,98 × 0,04 = 0,0588       (les deux chemins de l'arbre)
P(M|A) = 0,0196 / 0,0588 = 1/3 ≈ 0,33             (le chemin M divisé par le total)

Un tiers seulement des alertes sont fondées : la population saine est si grande que ses 4 % de faux positifs pèsent plus lourd que les vrais malveillants. C'est LE grand classique (dépistage, anti-spam) : événement rare + filtre imparfait = alerte majoritairement fausse. Et le piège de rédaction : la réponse n'est PAS 0,98 — 98 %, c'est P_M(A), pas P_A(M) : les deux conditionnelles ne se mélangent jamais, c'est toute la question.

L'indépendance — ça se vérifie, jamais ça se devine

A et B indépendants  ⇔  P(A∩B) = P(A) × P(B)  ⇔  P_A(B) = P(B)

« Montrer que A et B ne sont pas indépendants » = trois lignes attendues par le correcteur : calculer P(A∩B), calculer P(A) × P(B), comparer — une seule valeur différente suffit. Sur l'annale : P(B∩C) = 1/3 mais P(B) × P(C) = 5/27 → pas indépendants, une « loi avec mémoire ».

4. Le QCM de vocabulaire — 3 points sans calcul

Les points les plus rentables du sujet : traduire du français en ensembles, sans un seul calcul. La table de traduction :

Et les deux formules à savoir par cœur :

(A ∪ B)‾ = Ā ∩ B̄        (A ∩ B)‾ = Ā ∪ B̄        (De Morgan)

En français : le contraire de « l'un ou l'autre », c'est « ni l'un ni l'autre » ; le contraire de « les deux », c'est « au moins un manque ».

Le trio équivalent que le QCM adore — les trois propositions d'une même question 2025 étaient toutes vraies :

B ⊂ C   ⇔   B ∩ C̄ = ∅   ⇔   « B et C̄ sont incompatibles »

— si réussir l'UE2 place toujours dans C, alors personne n'est à la fois dans B et hors de C. Sachez passer des trois écritures de la même idée sans hésiter.

5. Le jour J — le temps, la copie, les contrôles

La rédaction « sera prise en compte bénéfiquement » : bien rédiger ne peut qu'aider. Trois habitudes qui rapportent :

1. Nommer le modèle avant de calculer : « tirages successifs sans remise, l'ordre compte → A₁₀⁴ ». Une ligne qui montre que tu sais choisir la formule vaut des points, même si le calcul qui suit déraille.
2. La formule, puis les valeurs, puis le résultat encadré — le correcteur suit la démarche étape par étape et note ce qui est juste en route.
3. Nommer les événements (« soit B : tirer un bénéfice après la première partie ») avant de les manipuler.

Les cinq contrôles qui sauvent des points

1. Partition : des cas qui découpent un ensemble → la somme redonne le total (120 + 3600 + 1320 = 5040).
2. Une probabilité est entre 0 et 1 — un résultat comme 33/9 doit faire tilt immédiatement.
3. « Au moins un » → contraire : P(au moins un) = 1 − P(aucun).
4. Arbre : les branches d'un même nœud se complètent (1/3 + 1/3 + 1/3 = 1) — un dessin faux se voit en deux secondes.
5. Dé truqué : la somme des probas fait 1 (14p = 1) — si elle ne tombe pas juste, une relation de l'énoncé est mal traduite.

Le plan des 2 jours

Deux jours, trois blocs, une simulation — dans cet ordre, parce que le dénombrement porte le plus de points et sert à tout le reste.

J − 2 — le socle : dénombrement + probas simples. Relis la page Dénombrement en te concentrant sur la grille des 4 modèles et les anagrammes, puis refais sans regarder les solutions l'exercice 1 du TD 1 (la grille) et les exercices 1 à 3 de l'annale. Après-midi : Probas simples — P(Ā), la formule d'union, le dé truqué — et les exercices 3 et 5 de l'annale. Le soir, relis les sections 1 et 2 de cette fiche.

J − 1 — le trou à combler + simulation. Matin : Probas conditionnelles — l'arbre, les probabilités totales, la question à l'envers ; refais l'exercice 4 de l'annale et la variante pare-feu (tout en bas de la page DS), c'est le gabarit le plus probable du sujet. Après-midi : le QCM de vocabulaire (section 4 ci-dessus) — 20 minutes suffisent. Le soir : l'annale complète en 1 h 30 chrono, calculatrice, sans corrigé sous les yeux. Puis correction froide : note les trois réflexes qui ont manqué, relis-les avant de dormir.

Jour J — matin. Relis cette fiche (15 minutes), pas les chapitres. Les cinq contrôles, le budget de temps, et le formulaire que tu recevras : repère dessus où sont les quatre modèles — le jour J, tu ne les cherches plus.