Probas simples
Univers et événements, le vocabulaire ensembliste, la définition d'une probabilité et ses propriétés, l'équiprobabilité — puis la fiche de TD n°2 corrigée, avec les paradoxes des deux enfants et des anniversaires.
Deuxième grande partie : on passe du « combien de cas ? » (Leçon 1) au « quelle chance ? ». L'idée tient en une phrase : une probabilité, c'est un comptage de cas ramené à une part du total. Tout le dénombrement de la page précédente devient donc une machine à fabriquer des probabilités. Cette page suit la Leçon 2 : le vocabulaire, la définition, les propriétés, l'équiprobabilité — puis la fiche de TD n°2 corrigée, avec deux paradoxes célèbres en bonus.
Cours
Le terrain de jeu : expérience aléatoire et univers
Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat à l'avance : lancer un dé, tirer une carte, appeler quelqu'un au téléphone sans savoir s'il répondra. On ne sait pas quel résultat va sortir — mais on sait souvent quels résultats peuvent sortir. La liste complète de tout ce qui peut sortir s'appelle l'univers, noté Ω (la lettre grecque « oméga »). L'image : Ω est le menu complet du hasard — toutes les cartes que le jeu peut tirer, une par ligne.
Le choix de l'univers dépend de ce qu'on observe, et c'est là que beaucoup se font piéger. Les trois exemples du cours :
- on lance un dé et on regarde le numéro :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; - on lance deux pièces et on note la pièce 1 puis la pièce 2 :
Ω = {PP, PF, FP, FF}— quatre résultats, car PF et FP sont deux tirages différents (la pièce 1 n'est pas la pièce 2) ; - on lance deux pièces et on compte les Face :
Ω = {0, 1, 2}— trois résultats seulement, car « PF » et « FP » donnent le même compte.
Même lancer, trois univers : tout dépend de la question posée. Et le choix de l'univers change la suite des calculs — d'où l'importance de l'écrire avant de commencer.
Les événements : des paquets de résultats
Un événement, c'est un ensemble de résultats de l'univers — un « paquet ». L'image : si Ω est la playlist complète du hasard, un événement est une playlist thématique qu'on fabrique dedans (« tous les morceaux qui font plus de 3 minutes »). Un événement élémentaire ω, c'est un seul résultat — un single, pas une playlist.
Le fil rouge du cours : on lance deux dés et on regarde la somme,
Ω = {2, 3, …, 12}. Avec ce fil rouge, tout le vocabulaire :
| Vocabulaire | Signification | Notation | Exemple (deux dés, la somme) |
|---|---|---|---|
| Événement élémentaire ω | un seul résultat de l'expérience | ω ∈ Ω | « obtenir 7 » : {7} |
| Événement A | un ensemble de résultats | A ⊂ Ω | « la somme est paire » : {2;4;6;8;10;12} |
| Événement impossible | ne se réalise jamais | ∅ | « obtenir plus que 13 » |
| Événement certain | se réalise toujours | Ω | « obtenir au moins 2 » |
| A et B | les résultats communs aux deux | A ∩ B | paire et multiple de 3 : {6;12} |
| A ou B | les résultats de l'un ou de l'autre | A ∪ B | paire ou multiple de 3 : {2;3;4;6;8;9;10;12} |
| A et B disjoints (incompatibles) | aucun résultat commun | A ∩ B = ∅ | « obtenir 7 » et « multiple de 3 » |
| Différence symétrique | dans l'un ou l'autre, mais pas les deux | A ∆ B | {2;3;4;8;9;10} |
| Événement contraire de A | tout ce qui n'est pas dans A | Ā = Ω \ A | « la somme est impaire » : {3;5;7;9;11} |
Ces symboles, tu les connais déjà : ce sont les opérations sur les ensembles de la Leçon 1 (l'union englobe tout, l'intersection garde le commun, le complémentaire retourne la sélection). En images :
Contraire ≠ disjoints — le piège classique
Deux événements disjoints ne se recouvrent pas, mais ils peuvent très bien être tous les deux faux (obtenir 7 et obtenir 8 : c'est l'un ou l'autre… ou aucun des deux). Deux événements contraires, eux, se partagent tout l'univers : exactement l'un des deux se réalise, à chaque fois. De plus, contrairement aux contraires, des événements disjoints ne sont pas forcément de même « taille ».
La définition : deux axiomes et tout en découle
Une probabilité sur un univers Ω, c'est une façon de donner à chaque événement un nombre entre 0 et 1 — sa « part de chances » — en respectant deux règles du jeu (les axiomes) :
- P(Ω) = 1 : quelque chose va forcément arriver. Le hasard ne peut pas sortir du menu.
- Pour des événements disjoints A₁, A₂, … : P(A₁ ∪ A₂ ∪ …) = P(A₁) + P(A₂) + … — si les cas ne se recouvrent pas, on additionne. (Tu reconnais le principe additif du dénombrement !)
L'image : la probabilité est un gâteau de 100 % qu'on partage entre les événements. Deux personnes ne peuvent pas avoir la même part si elles sont assises sur la même chaise (disjonction), et toutes les parts mises bout à bout reconstituent le gâteau entier.
De ces deux axiomes découle la boîte à outils suivante :
P(Ā) = 1 − P(A) (et en particulier P(∅) = 0)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
Si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B)La première est le réflexe le plus rentable du semestre : l'astuce du « au moins un ». Compter directement « au moins un… » veut souvent dire compter beaucoup de cas ; son contraire, « aucun… », se compte souvent en une ligne. Donc : P(au moins un) = 1 − P(aucun). La deuxième, elle, corrige le sur-comptage : si tu additionnes P(A) et P(B), la zone A∩B est comptée deux fois (une fois dans A, une fois dans B) — on la retire une fois.
L'équiprobabilité : quand tous les cas se valent
Situation idéale (et hyper fréquente dans les exercices) : quand tous les résultats élémentaires ont la même chance de sortir — un dé bien équilibré, un jeu bien mélangé, un tirage au sort honnête — on dit qu'on est en situation d'équiprobabilité. Chaque résultat élémentaire vaut alors 1/n, où n est le nombre d'éléments de Ω : le gâteau est coupé en parts égales.
Et là, tout le travail de la Leçon 1 arrive : la probabilité d'un événement A se calcule en comptant des cas :
P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles = #(A) / #(Ω)Exemple du cours : on tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Chaque carte a la même chance (1/32) d'être tirée. La probabilité de tirer un trèfle ? 8 trèfles sur 32 cartes : P(T) = 8/32 = 1/4. Un as de trèfle ? 1 seule carte : 1/32. Un as ou un trèfle ? P(A∪T) = P(A) + P(T) − P(A∩T) = 4/32 + 8/32 − 1/32 = 11/32 — la formule d'union sert dès que deux événements se recouvrent (l'as de trèfle compté deux fois).
Le réflexe d'examen
« Au hasard », « bien équilibré », « identique » dans un énoncé = situation d'équiprobabilité : compte les cas favorables et les cas possibles avec la Leçon 1 (arrangements, combinaisons…), puis divise. Sans équiprobabilité (un dé truqué, des proportions données), il n'y a pas de division magique : on raisonne avec P(Ā) = 1 − P(A), la formule d'union, et la somme des probas qui vaut 1 — c'est tout l'exercice 3 ci-dessous.
Exercices
Les huit exercices de la fiche de TD n°2, énoncés en condensé. Cherchez avant d'ouvrir chaque solution — et garde un œil sur les deux paradoxes de fin de fiche : ils réveillent tout le monde en TD.
Exercice 1 — Le dé et sa mémoire
On lance un dé bien équilibré 60 fois. La face 1 est sortie 20 fois, la 2 quinze fois, la 3 six fois, la 4 douze fois, la 5 sept fois. Quelle est la probabilité que lors du 61ᵉ lancer la face 1 apparaisse ?
Le passé ne compte pas : le dé est bien équilibré, donc chaque lancer est indépendant des précédents et la face 1 a toujours une chance sur six.
P(face 1 au 61ᵉ lancer) = 1/6Piège mental : « la face 1 est déjà sortie 20 fois, elle va se reposer » ou au contraire « elle est en veine ». Le hasard n'a ni dette ni veine — l'équiprobabilité s'applique à chaque lancer, quel que soit l'historique.
Exercice 2 — Combien de pièces défectueuses ?
Dans une production, il y a 3 % d'objets défectueux. On prélève au hasard un lot de 100 pièces. Combien y a-t-il d'objets défectueux dans le lot ?
On ne peut pas répondre. Il peut y en avoir 0, ou 1, ou 50… La proportion « 3 % » ne décrit pas ce lot précis, elle dit que chaque pièce a 3 chances sur 100 d'être défectueuse. Le nombre le plus probable est bien 3 (3 % de 100), mais ce n'est pas une certitude — le hasard peut très bien donner 0 ou 8.
P(3 défectueuses dans le lot) ≠ 1 « le plus probable » ≠ « obligatoire »C'est LA distinction à avoir en tête : une probabilité décrit des fréquences sur beaucoup de tirages, pas le contenu exact d'un tirage précis.
Exercice 3 — Le dé truqué
Un dé cubique truqué, faces numérotées de 1 à 6. On note pᵢ la probabilité d'obtenir le résultat i, et on sait que :
- autant de chance d'obtenir le 1 que le 2 ;
- 3 fois plus de chance d'obtenir le 3 que le 1 ;
- 2 fois plus de chances d'obtenir le 2 que le 4 ;
- autant de chance d'obtenir le 5 que le 3 ;
- 2 fois plus de chance d'obtenir le 6 que le 4.
- Déterminer les nombres pᵢ. 2. Calculer P(« obtenir un numéro pair »).
Traduisons chaque phrase : p₁ = p₂, puis p₃ = 3p₁, p₄ = 2p₂ = 2p₁, p₅ = p₃ = 3p₁, p₆ = 2p₄ = 4p₁. Tout s'écrit avec une seule inconnue p₁ — et on sait que le gâteau est complet : les six probas font 1.
p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ + p₆ = 1
p₁ + p₁ + 3p₁ + 2p₁ + 3p₁ + 4p₁ = 14p₁ = 1 → p₁ = 1/14p₁ = p₂ = 1/14 p₃ = 3/14 p₄ = 2/14 p₅ = 3/14 p₆ = 4/14On additionne les probas des cas disjoints (principe additif) :
P(pair) = p₂ + p₄ + p₆ = 1/14 + 2/14 + 4/14 = 7/14 = 1/21/2 — la même valeur que pour un dé non pipé ! Pas de magie : les coefficients du truquage se compensent exactement sur les pairs. Mais attention, ce n'est pas toujours le cas — on ne devine pas, on calcule.
Exercice 4 — Traduire des événements (UE1, UE2)
Au semestre 2, on choisit au hasard un étudiant de première année. On note A : « l'étudiant a validé l'UE1 » et B : « il a validé l'UE2 ». Sur un diagramme de Venn, représenter puis interpréter par une phrase : (A∩B)‾, Ā∩B, Ā∪B, (A∪B)‾, A∪B̄ et A∩B̄.
On traduit ∩ par « et », ∪ par « ou » (inclusif : les deux possibles), la barre par « ne… pas » :
- (A∩B)‾ : il n'a pas validé l'UE1 ou il n'a pas validé l'UE2 — bref, il lui manque au moins une UE (le « ou » est inclusif : parfois les deux manquent) ;
- Ā∩B : il n'a pas validé l'UE1 et il a validé l'UE2 ;
- Ā∪B : il n'a pas validé l'UE1 ou il a validé l'UE2 ;
- (A∪B)‾ = Ā∩B̄ (Morgan) : il n'a validé ni l'UE1 ni l'UE2 ;
- A∪B̄ : il a validé l'UE1 ou il n'a pas validé l'UE2 ;
- A∩B̄ = A\B : il a validé l'UE1 mais pas l'UE2.
Au passage, la fiche fait réviser les lois de De Morgan, à connaître par cœur :
(A∪B)‾ = Ā∩B̄ (A∩B)‾ = Ā∪B̄En français : le contraire de « l'un ou l'autre », c'est « ni l'un ni l'autre » — et le contraire de « les deux », c'est « au moins un manque ».
Exercice 5 — Cadres et bilingues
Dans un groupe de 100 employés, on dénombre 45 cadres, 40 employés parfaitement bilingues, 25 cadres parfaitement bilingues. On choisit un employé au hasard. Quelle est la probabilité qu'il présente au moins un des deux caractères cadre ou bilingue ?
Notons C « être cadre » et B « être bilingue ». « Au moins un des deux », c'est C∪B — et comme les deux populations se recouvrent (25 personnes), on ne peut pas additionner directement : la formule d'union retire la partie comptée deux fois.
P(C∪B) = P(C) + P(B) − P(C∩B) = 0,45 + 0,40 − 0,25 = 0,6060 personnes sur 100 sont cadres ou bilingues (ou les deux). Le Venn du corrigé le montre bien : 20 + 25 + 15 = 60, et il reste 20 personnes « ni l'un ni l'autre ».
Exercice 6 — Vaccins (fièvre jaune et diphtérie)
Dans une population, 45 % des individus sont vaccinés contre la fièvre jaune, 60 % contre la diphtérie, et 30 % contre les deux. Quelle est la probabilité, pour un individu choisi au hasard, de n'être vacciné ni contre la fièvre jaune, ni contre la diphtérie ?
Notons J « vacciné contre la fièvre jaune » et D « vacciné contre la diphtérie ». « Ni J ni D », c'est J̄∩D̄ — difficile à calculer directement… sauf que c'est le contraire de « J ou D » (De Morgan) :
P(J̄∩D̄) = P((J∪D)‾) = 1 − P(J∪D)
P(J∪D) = P(J) + P(D) − P(J∩D) = 0,45 + 0,60 − 0,30 = 0,75
P(J̄∩D̄) = 1 − 0,75 = 0,2525 % des gens ne sont vaccinés ni contre l'une, ni contre l'autre. La combinaison gagnante de la page : « ni… ni » → contraire de « ou », puis formule d'union.
Exercice 7 — Le paradoxe des deux enfants
Problème de Martin Gardner (Scientific American, 1959). 1. Mr Jones a deux enfants. L'aîné est une fille. Quelle est la probabilité que les deux soient des filles ? 2. Mr Smith a deux enfants. Au moins l'un est un garçon. Quelle est la probabilité que les deux soient des garçons ?
L'univers des deux enfants : BB, BG, GB, GG (aîné puis cadet).
Sachant que l'aîné est une fille, il ne reste que GB, GG — deux
cas équiprobables, dont un seul est GG :
P(deux filles | l'aîné est une fille) = 1/2Sachant qu'au moins un est un garçon, on élimine seulement GG :
il reste BB, BG, GB — trois cas équiprobables, dont un seul est BB :
P(deux garçons | au moins un garçon) = 1/3Remarque du corrigé : les deux réponses diffèrent parce que dans la première question, on sait lequel des deux enfants est concerné (l'aîné) — l'information est plus précise, elle rétrécit moins l'univers. Même phrase d'apparence, deux informations différentes : bien définir l'univers réduit est tout l'enjeu des probas conditionnelles (page suivante !).
Exercice 8 — Le paradoxe des anniversaires
Combien faut-il réunir de personnes pour que la probabilité que deux personnes au moins soient nées le même jour dépasse 50 % ?
Soit n le nombre de personnes, A : « deux personnes au moins nées le même jour ». Compter A directement, c'est compter tous les chevauchements possibles — ingérable. On passe par le contraire Ā : « aucune coïncide ». Dénombrons avec la Leçon 1 : chacun des n anniversaires est un tirage avec remise parmi 365 jours, donc 365ⁿ anniversaires possibles ; sans coïncidence, le premier choisit parmi 365 jours, le deuxième 364, etc. :
P(Ā) = (365 × 364 × … × (365−(n−1))) / 365ⁿ = 365! / (365ⁿ (365−n)!)
P(A) = 1 − 365! / (365ⁿ (365−n)!)On cherche n tel que P(A) ≥ 0,5. En traçant la courbe de cette fonction de n, la valeur passe 50 % dès n = 23 personnes : P(A) = 50,73 %.
Contre-intuitif ? On pense « 365 jours, il en faudrait ~180 ». Mais on ne compare pas n personnes à 365 jours : on compare les C(n, 2) paires de personnes aux 365 jours — et 23 personnes, c'est déjà 253 paires qui peuvent coïncider.
A retenir
- l'univers Ω est la liste de tous les résultats possibles ; un événement est un sous-ensemble de Ω — le choix de Ω dépend de ce qu'on observe (deux pièces notées ≠ nombre de Face) ;
- le vocabulaire ensembliste (∩, ∪, ∅, contraire, disjoints, ∆) se traduit en phrases : « et », « ou », « jamais », « tout sauf » — et Morgan : (A∪B)‾ = Ā∩B̄, (A∩B)‾ = Ā∪B̄ ;
- deux axiomes : P(Ω) = 1 et l'additivité sur les disjoints ; d'où P(Ā) = 1 − P(A) (l'astuce « au moins un ») et P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ;
- en équiprobabilité : P(A) = cas favorables / cas possibles = #(A)/#(Ω) — tout le dénombrement de la Leçon 1 sert ici ;
- une probabilité n'est pas une garantie (3 % ≠ 3 pièces défectueuses), et le hasard n'a pas de mémoire (le 61ᵉ lancer reste 1/6).
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R3.08 · Leçon 2 — Probabilités élémentaires (cours complété)
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R3.08 · Fascicule de TD — énoncés des fiches
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R3.08 · Fiche de TD n°2 — corrigé manuscrit
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Dénombrement
Les deux principes (multiplicatif et additif), factorielles, arrangements, combinaisons, anagrammes, tirages avec ou sans remise et binôme de Newton — puis la fiche de TD n°1 entièrement corrigée.
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