Ch. 3 — Statistiques bivariées

Une série à deux variables

Jusqu'ici, une variable par individu. En statistique bivariée, on observe deux variables sur les mêmes individus pour mesurer le lien entre elles. L'exemple filé du cours : dans une entreprise au fort « turn-over », une enquête relève l'ancienneté x (en années) et le salaire mensuel y (en euros) de cinq salariés :

Deux indicateurs vont « mesurer » ce lien : la covariance et le coefficient de corrélation.

Nuage de points et point moyen

On représente la série double (xᵢ ; yᵢ) par un nuage de points : dans un repère orthonormé, on place tous les points Mᵢ de coordonnées (xᵢ ; yᵢ). Le point moyen du nuage est le point G de coordonnées :

x̄ = (1/n) Σ xᵢ        ȳ = (1/n) Σ yᵢ

Sur l'exemple : x̄ = 10/5 = 2 et ȳ = 8153,88/5 = 1630,776, donc G(2 ; 1630,776) — à placer sur le graphique : c'est autour de G que gravitent tous les calculs du chapitre.

La covariance : le sens de la liaison

La covariance de deux variables (x ; y) est le nombre réel défini par les deux formes égales :

Cov(x ; y) = (1/n) Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = (1/n) Σ xᵢyᵢ − x̄·ȳ

Son signe raconte le sens de la liaison :

• positive : les deux variables évoluent dans le même sens — le coût d'impression et le nombre de feuilles utilisées, l'âge des enfants et le nombre de mots de leur vocabulaire ;
• négative : elles évoluent en sens opposés — la puissance du micro-onde et le temps nécessaire pour faire bouillir un bol d'eau.

Le coefficient de corrélation : la force

On étudie ici la corrélation linéaire : celle de deux variables dont le nuage contient des points presque alignés. La « force » de la corrélation se mesure par le coefficient de corrélation linéaire r :

r = Cov(x ; y) / (σ(x) · σ(y))

• r est toujours compris entre −1 et 1 ;
• r = 0 : pas de corrélation ; r = 1 ou −1 : corrélation parfaite ;
• valeur absolue de r supérieure à 0,7 : corrélation forte ; inférieure à 0,7 : faible.

Le calcul complet sur l'exemple ancienneté/salaire — avec les valeurs intermédiaires du corrigé :

V(x)   = 30/5 − 2² = 2                    → σ(x) = √2 ≈ 1,41
V(y)   = 13 533 973,3/5 − (8153,88/5)²
       = 47 364,298                       → σ(y) ≈ 217,63
Cov    = 17 764,9/5 − 2 × 8153,88/5 = 291,428
r      = 291,428 / (√2 × √47 364,298) ≈ 0,947

Covariance positive (quand l'ancienneté augmente, le salaire aussi) et r proche de 1 : forte corrélation linéaire.

La droite de régression (moindres carrés)

Pour modéliser le nuage, on trace des droites candidates. Pour chacune, on calcule les distances verticales P₁M₁, P₂M₂… entre les points du nuage et la droite, puis la somme de leurs carrés. La droite de régression linéaire de y en x est celle qui rend cette somme la plus petite possible — c'est la méthode des moindres carrés.

Son équation s'écrit y = ax + b, avec :

a = Cov(x ; y) / V(x)        b est tel que ȳ = a·x̄ + b

La droite passe donc toujours par le point moyen G — deuxième raison de le placer d'abord. Sur l'exemple :

a = 291,428 / 2 = 145,714
b = 1630,776 − 145,714 × 2 = 1339,348
(d) : y = 145,714 x + 1339,348

Elle sert à faire des prédictions : un salarié de 5 ans d'ancienneté peut espérer y = 145,714 × 5 + 1339,348 ≈ 2067,92 euros.

Interpolation ou extrapolation ?

Les points du nuage d'abscisse la plus petite et la plus grande s'appellent les pôles. La prédiction d'une valeur de y pour un x entre les pôles est une interpolation ; pour un x en dehors, c'est une extrapolation. Leur fiabilité ne se discute pas de la même façon :

• une interpolation donne de bons résultats si les données montrent une corrélation proche de la linéarité ;
• une extrapolation exige en outre de supposer que la tendance se poursuit hors du nuage — à manier prudemment (prédire x = 5 dans l'exemple, c'est déjà extrapoler d'un an).

A retenir

• commencer par le nuage de points et le point moyen G(x̄ ; ȳ) : tous les calculs gravitent autour de G ;
• covariance = le sens de la liaison (positive : même sens ; négative : sens opposés) ; r = Cov/(σₓ·σᵧ) = la force (0 : rien, proche de ±1 : presque alignés, seuil 0,7) ;
• droite de régression par moindres carrés : a = Cov/V(x) et b = ȳ − a·x̄ — elle passe par G et sert aux prédictions ;
• interpolation entre les pôles, extrapolation au-delà : jamais sans discuter la fiabilité ; corrélation ≠ causalité.