Ch. 1 — Vocabulaire et représentations

Décrire ou inférer ?

La statistique descriptive mène des études à partir de données exhaustives — qui concernent tous les individus de la population concernée. Elle s'oppose à la statistique inférentielle, qui travaille à partir des données d'un échantillon de la population (les sondages). Tout le semestre se place du premier côté.

Population, variable, modalités

• la population est l'ensemble sur lequel porte l'étude ; ses éléments sont les individus — qui ne sont pas forcément humains : objets, villes, réfrigérateurs… ;
• la variable statistique (ou caractère) est l'objet de l'étude, ce qu'on observe sur chaque individu ;
• les modalités sont les différentes valeurs possibles de la variable.

Trois exemples du cours : la couleur des yeux des membres d'une famille (qualitative), la puissance fiscale des voitures d'une société (quantitative), la durée de vie des réfrigérateurs produits par une usine (quantitative continue).

Le type de la variable commande tout le reste :

• qualitative : les modalités ne sont pas mesurables (la couleur des yeux) ;
• quantitative discrète : les modalités sont des valeurs numériques énumérables, « séparées » (la puissance fiscale) ;
• quantitative continue : des valeurs appartenant à un intervalle, aussi appelé classe — elles ne peuvent pas être séparées ni énumérées (la durée de vie).

Effectifs et fréquences

L'effectif d'une modalité, noté nᵢ, est le nombre d'individus qui présentent cette modalité ; la somme des effectifs est l'effectif total N. La fréquence d'une modalité est le rapport de son effectif à l'effectif total, fᵢ = nᵢ/N, souvent exprimé en pourcentage — et l'on a f₁ + f₂ + … + fᵣ = 1. Exemple du cours (couleur des yeux) :

Effectifs et fréquences cumulés

Partons d'une question : quelle proportion des voitures a une puissance fiscale d'au plus 6 CV ? On additionne : 15 + 17 + 8 = 40 voitures, soit 80 %. Ce 40 est l'effectif cumulé croissant (ECC) de la modalité 6, ce 80 % sa fréquence cumulée croissante (FCC). Formellement :

• ECC / FCC de la modalité xᵢ : nombre (resp. proportion) d'individus pour lesquels la variable X est inférieure ou égale à xᵢ ;
• ECD / FCD : pour lesquels X est supérieure ou égale à xᵢ.

Sur la série des 50 voitures (puissances 4, 5, 6, 7, 10 CV et effectifs 15, 17, 8, 6, 4) :

ECC : 15   32   40   46   50     au plus 5 CV : 32 voitures (64 %)
FCC : 0,30 0,64 0,80 0,92  1     au plus 6 CV : 80 %
ECD : 50   35   18   10    4     au moins 5 CV : 35 voitures (70 %)
FCD : 1    0,70 0,36 0,20  0,08  au moins 7 CV : 20 %

Ces cumuls sont l'outil de lecture de tous les graphiques qui suivent — et le support des médiane et quartiles (chapitre 2).

Représenter une variable qualitative

Le diagramme en barres associe à chaque modalité un rectangle de base constante, disjoint des autres (vertical ou horizontal), dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif (donc à la fréquence). Le diagramme circulaire (ou camembert) associe à chaque modalité un secteur de disque dont l'angle au centre est proportionnel à l'effectif : αᵢ = nᵢ/N × 360, soit encore αᵢ = fᵢ × 360. Sur l'exemple des yeux : 93°, 207° et 60°.

Représenter une variable quantitative discrète

Le diagramme en bâtons associe à chaque modalité un bâton (un segment) de hauteur proportionnelle à son effectif — sur la série des puissances fiscales : des bâtons aux valeurs 4, 5, 6, 7 et 10, de hauteurs 15, 17, 8, 6 et 4.

Représenter une variable quantitative continue : l'histogramme

Un histogramme est un diagramme de rectangles contigus dont les aires sont proportionnelles aux effectifs (donc aux fréquences) ; les bases des rectangles sont déterminées par l'amplitude des classes. Ne le confondez pas avec le diagramme en barres — la clé est l'aire, pas la hauteur.

Deux cas : si les classes ont la même amplitude, tout va bien. Mais avec des amplitudes différentes, deux classes de même effectif ne doivent pas être représentées par des rectangles de même hauteur : l'aire ne serait plus proportionnelle à l'effectif. On trace alors la densité de chaque classe :

dᵢ = nᵢ / Aᵢ      (effectif de la classe divisé par son amplitude)

C'est exactement la notion de densité de population : comparer deux pays sur le nombre d'habitants n'a pas de sens sans rapporter ce nombre à la superficie. Sur la durée de vie des réfrigérateurs, la classe [6,5 ; 8[ (effectif 3 centaines, amplitude 1,5) a une densité de 3/1,5 = 2, alors que [14 ; 17[ (effectif 9 centaines, amplitude 3) a une densité de 9/3 = 3 : le deuxième rectangle est plus haut, alors que ses effectifs se répartissent sur une classe deux fois plus large.

A retenir

• vocabulaire : population, individus, variable (qualitative, quantitative discrète ou continue), modalités ;
• effectifs et fréquences (fᵢ = nᵢ/N, somme égale à 1), et leurs versions cumulées : ECC/FCC (au plus), ECD/FCD (au moins) ;
• la représentation dépend du type : barres / camembert (qualitatif), bâtons (discret), histogramme (continu) ;
• classes d'amplitudes inégales : on trace les densités dᵢ = nᵢ/Aᵢ, sinon l'histogramme ment.