Ch. 2 — Tendance centrale et dispersion

Ce qu'on cherche

Un indicateur de tendance centrale doit dégager une valeur centrale de la série. Selon George Yule, l'idéal serait une valeur objective, dépendant de toutes les valeurs, compréhensible, simple à calculer, peu sensible aux fluctuations d'échantillonnage et propice aux calculs algébriques. Aucun des indicateurs qui suivent n'est idéal : chacun fait des compromis — d'où leur combinaison.

Le mode

Le mode est la valeur la plus probable de la série (la plus « à la mode ») : la modalité d'effectif maximal pour une variable qualitative ou quantitative discrète, la classe modale pour une variable quantitative continue. Très simple à déterminer, il donne la valeur la plus « typique » — mais il ne se prête pas aux calculs algébriques et ne dépend pas de tous les termes de la série.

La moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique représente des valeurs inégales par une grandeur unique qui ne change pas la globalité de la situation — une valeur fabriquée par le statisticien, sans existence réelle (comme votre moyenne de maths : la note qu'il aurait fallu avoir partout pour le même total de points). Elle se calcule :

• à l'aide des effectifs (moyenne pondérée) : x̄ = (Σ nᵢxᵢ)/N ;
• à l'aide des fréquences : x̄ = Σ fᵢxᵢ.

Deux précisions de cours : sur une variable qualitative, la moyenne ne peut pas être calculée ; sur une variable quantitative continue, on remplace les valeurs par les centres des classes (pour [6,5 ; 8[ le centre est 7,25, pour [8 ; 9,5[ c'est 8,75…).

La linéarité de la moyenne

Trois propriétés, avec les exemples du cours :

x̄ + ȳ = moyenne de (x + y)      salaire fixe 2 000 + prime 250 → revenu moyen 2 250
moyenne de (a·x) = a·x̄          augmentation de 4 % → nouvelle moyenne = 1,04 × x̄
x̄ + b                           prime exceptionnelle de 100 € → moyenne + 100

Médiane et quartiles : les quantiles

Les valeurs étant rangées dans l'ordre croissant, la médiane Me partage la série en deux groupes de même effectif (au moins 50 % des observations de part et d'autre) ; le premier quartile Q1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales, le troisième quartile Q3 telle qu'au moins 75 % le soient. Ces trois valeurs découpent la population en quatre groupes d'environ 25 %.

Méthode pratique (caractère discret) : N impair, N = 2n + 1 → la médiane est la (n + 1)-ième valeur ; N pair, N = 2n → la moyenne des n-ième et (n + 1)-ième valeurs. Les quartiles se repèrent à 25 % puis 75 % de l'effectif total. Sur les 21 notes du DS du cours, rangées :

2 ; 3 ; 5 ; 5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 12 ; 12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19

Me : N = 21 = 2×10 + 1 → 11ᵉ valeur = 12
Q1 : 25 % × 21 = 5,25   → 6ᵉ valeur = 8
Q3 : 75 % × 21 = 15,75  → 16ᵉ valeur = 14

Cas continu : lecture graphique et interpolation linéaire

Pour une variable continue, on lit Me (FCC de 50 %), Q1 (25 %) et Q3 (75 %) sur le polygone des ECC : chaque valeur se localise dans sa classe, on y suppose la répartition uniforme et on dresse un tableau de proportionnalité — c'est l'interpolation linéaire. Sur la durée de vie des réfrigérateurs (FCC de 38,33 % à 11 ans et de 70 % à 12,5 ans) :

FCC (%)   38,33      50       70
valeur       11      Me      12,5

Me = 11 + (50 − 38,33) / (70 − 38,33) × 1,5 ≈ 11,55 années

De même, Q1 se lit dans la classe [9,5 ; 11[ (FCC de 18,33 % à 38,33 %) et Q3 dans [12,5 ; 14[ (70 % à 85 %) : Q1 ≈ 10 et Q3 = 13. Graphique et calcul coïncident — savoir faire les deux est l'attendu.

Dispersion : de l'étendue à la boîte à moustaches

« Un statisticien se noya dans un cours d'eau dont la profondeur moyenne était de 20 cm » (Daniel Schwartz) : la moyenne résume la tendance centrale mais ne dit rien des variations autour d'elle. D'où les indicateurs de dispersion.

• l'étendue E est la différence entre les valeurs extrêmes : rapide à obtenir, mais de signification très limitée — deux valeurs seulement (parfois aberrantes), non indépendante des effectifs, et même inconnue précisément pour une variable continue. On lui préfère l'écart interquartile ;
• l'intervalle interquartile [Q1 ; Q3] contient par construction environ 50 % des valeurs observées ; l'écart interquartile est Q3 − Q1 ;
• le diagramme de Tukey (ou boîte à moustaches, boxplot) : un rectangle délimité par Q1 et Q3, des moustaches grâce aux valeurs extrêmes, la médiane en segment vertical. Étendue = longueur totale du diagramme, écart interquartile = longueur de la boîte ; très pertinent pour comparer plusieurs séries.

Variance et écart-type

La variance (introduite par Fisher) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne — un nombre positif :

V(X) = (Σ nᵢ (xᵢ − x̄)²) / N

Formule de Koenig (pour les calculs) :
V(X) = (Σ nᵢ xᵢ²) / N − x̄²
       └── moyenne des carrés ──┘   └─ carré de la moyenne ─┘

L'écart-type σ (introduit par Pearson en 1893) est sa racine carrée : σ = √V. Exemple complet sur la puissance fiscale (valeurs 4, 5, 6, 7, 10 et effectifs 15, 17, 8, 6, 4) :

x̄   = (15×4 + 17×5 + 8×6 + 6×7 + 4×10) / 50 = 275/50 = 5,5
V   = (15×16 + 17×25 + 8×36 + 6×49 + 4×100)/50 − 5,5² = 32,94 − 30,25 = 2,69
σ   = √2,69 ≈ 1,64

Interprétation : plus σ est grand, plus les valeurs sont dispérées autour de la moyenne. Surtout, σ s'exprime dans la même unité que la variable — pas la variance — ce qui fait de l'écart-type l'indicateur de dispersion de référence pour la suite (R3.08).

A retenir

• mode (ou classe modale) : la valeur la plus fréquente ; moyenne : pondérée par les effectifs ou les fréquences, linéaire, mais non robuste ;
• médiane et quartiles : méthode pratique sur valeurs rangées, lecture graphique sur le polygone des ECC et interpolation linéaire — les trois doivent coïncider ;
• dispersion : étendue (limitée), écart interquartile, boîte à moustaches de Tukey (Q1, Me, Q3, moustaches) ;
• variance par la formule de Koenig (moyenne des carrés − carré de la moyenne) et écart-type σ = √V, dans la même unité que la variable.