Polynômes, suites et dichotomie

Polynômes

Racines et divisibilité : P(a) = 0 ⟺ P divisible par (x − a) (le sujet fait vérifier x¹¹⁷ − 1 par x − 1). Racine évidente → factorisation par division, puis discriminant pour le 2nd degré — et extension dans ℂ quand le discriminant est négatif. L'interpolation de Lagrange : les polynômes Lᵢ valent 1 en leur point et 0 aux autres ; le polynôme de degré ≤ n passant par n+1 points est unique.

Suites

• Arithmétique (raison r) : Un = U0 + n·r ; somme = (nombre de termes) × (1er + dernier) / 2 — le sujet somme 2 + 5 + … + 302.
• Géométrique (raison q) : Vn = V0 · qⁿ ; somme = premier × (1 − q^(nb)) / (1 − q).

Dichotomie

Chercher α tel que f(α) = 0 : un tableau de variations + le théorème des valeurs intermédiaires garantissent l'existence ; la monotonie garantit l'unicité. Puis on itère : c = (a+b)/2, on garde la moitié où f change de signe. Le nombre d'étapes pour une précision ε : le plus petit n tel que (b − a)/2ⁿ < ε (le sujet demande 10⁻⁴). On encadre α — l'approche numérique contre la solution exacte.

A retenir

• P(a) = 0 ↔ divisible par (x − a) ;
• les deux formules de somme des suites ;
• TVI pour l'existence, dichotomie pour l'encadrement, log₂ pour le nombre d'étapes.

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